Вряд ли можно рассказать, даже вкратце, обо всех. Мы отобрали семь наиболее вероятных вариантов. Русская Америка не включена по той причине, что она и так была российской колонией долгое время...

Гилян и Мазендеран (Северный Иран)

В 1722 году, по окончании войны со Швецией, Пётр I предпринял поход на Персию. Войска шли как Волгою и Каспийским морем, так и сушею по западному берегу Каспия. В результате русских побед в сентябре 1723 года был заключен мирный договор, по которому Персия уступала России не только нынешние Дагестан и Азербайджан, но и всё южное побережье Каспийского моря – нынешние провинции Ирана Гилян и Мазендеран.
После смерти Петра Великого новые правители России считали слишком обременительным удержание этих отдалённых земель. В 1732 году, при царице Анне Иоанновне, был заключён договор в городе Реште (в Гиляне), по которому Россия без всякой компенсации отказалась от всех завоёванных Петром у Персии территорий.
Интересно, что в 1920 году на этих же землях большевики создали Персидскую советскую республику, просуществовавшую один год.

Мальта и Ионические острова

В 1798 году Суверенный Совет Мальтийского ордена обратился к российскому императору Павлу I с просьбой о покровительстве и избрал его своим Великим магистром. Сам остров Мальта был в это время захвачен французами. В 1799 году Павел I начал войну с Францией, в ходе которой русские войска при поддержке флота овладели Ионическими островами. В 1800 году Павел помирился с Бонапартом.
Новая ситуация позволяла обменять у Франции Ионические острова на Мальту. После же того, как Англия захватила Мальту, Россия могла бы обосноваться на Ионических островах. Формально там была учреждена республика под совместным протекторатом России и Турции. Но сын Павла Александр I в 1806 году рассорился с Турцией, а в 1807 г. по Тильзитскому миру уступил Франции все права на Ионические острова.

Гавайские острова

Гавайские острова, впервые замеченные испанскими мореплавателями в XVI веке, долго не посещались европейцами. В конце XVIII века их впервые подробно исследовал английский мореплаватель Джемс Кук. После этого европейцы, особенно англичане и французы, начали проявлять интерес к архипелагу. Но там уже существовала своя государственность, созданная аборигенами – канаками. В 1810 году местный вождь Камеамеа объединил под своей властью все острова. А в 1815 году там попыталась обосноваться Российская Американская компания (РАК) и присоединить Гавайи к Русской Америке.
В 1816 году капитан РАК Георг Шеффер основал на Гавайях три русских форта. Однако в следующем году РАК была выбита оттуда пиратской экспедицией американцев с помощью туземцев. Проект РАК о вооружённой экспедиции и колонизации Гавайских островов был представлен Александру I, но царь отклонил его.
В Тихом океане русскими экспедициями начала XIX века был открыт ряд островов, которые могли бы принадлежать России по праву первооткрывателя: риф Крузенштерна и остров Лисянского в тех же Гавайях, острова Россиян в архипелаге Туамоту, острова Сенявина (в Микронезии) и др.

Новая Гвинея

В 1870-80-е гг. русский путешественник и этнограф Н.Н. Миклухо-Маклай подробно исследовал часть северного берега острова Новая Гвинея. Он неоднократно пытался заинтересовать правительство и общественность России колонизацией этой территории. Но первый его проект, представленный в 1875 году, наткнулся на отказ правительства «ввиду отсутствия там русских интересов».
А вот правительства Англии и Германии вовсе не считали, что их интересы там отсутствуют. Ввиду начавшейся колониальной экспансии европейцев Миклухо-Маклай ещё и ещё раз обращался к правительству и к самому императору Александру III. В 1884 году специальное правительственное совещание отклонило проект Маклая под тем предлогом, что Германия уже заявила права на эту территорию. Маклай через газеты обратился к обществу и собрал 1200 подписей желающих участвовать в создании русской колонии. Но в 1886 году Александр III запретил дальнейший ход любым инициативам по этому делу.

Абиссиния (Эфиопия)

В конце XIX века европейские державы заинтересовались Эфиопией. В 1889 году русский путешественник Н.И. Ашинов собрал 150 добровольцев- казаков и основал колонию в Джибути. Но на эту территорию претендовала Франция. Колония Ашинова была уничтожена, оставшиеся в живых колонисты доставлены в Россию, где в свою очередь были репрессированы царским судом.
В 1894 году Италия попыталась захватить всю Абиссинию. Русский путешественник Н.С. Леонтьев находился в это время на дипломатической службе у негуса Менелика II. Ему удалось склонить русское общество и правительство к помощи Эфиопии. Негус в 1896 году разгромил итальянцев и выразил готовность перейти под официальный протекторат России. Но Николай II не пожелал принять христианскую Эфиопию под своё покровительство, боясь осложнений в отношениях с европейскими странами.

Маньчжурия и Корея

В последние годы XIX века началось проникновение России в Северо-Восточный Китай и строительство там Китайско-Восточной железной дороги и базы Порт-Артур. В Маньчжурии был основан город Харбин – крупнейшая русская колония в Китае. На некоторых русских картах того времени Маньчжурия изображалась как часть России, приобретённая в царствование Николая II.
Одновременно русские компании получили концессии в Корее, а русский посланник в Сеуле пользовался огромным влиянием на королевский двор Кореи. Эта деятельность России вызвала противодействие Японии. Всё решила русско-японская война 1904-05 гг. Потерпев в ней поражение, Россия вынуждена была отказаться от влияния в Корее, а её присутствие в Маньчжурии ограничилось только северной частью.

Босфор, Дарданеллы и Великая Армения

Во время Первой мировой войны, в 1916 году, министры иностранных дел Англии, Франции и России подписали секретное соглашение о разделе Османской империи. После войны к России должны были отойти Константинополь, проливы Босфор и Дарданеллы с прилегающими территориями на европейском и азиатском берегах, а также населённые до войны армянами территории Восточной Анатолии с выходом к Средиземному морю (Великая Армения). Соглашение осталось без исполнения ввиду того, что в 1917 году Россия, в которой произошла революция, вышла из войны.
Вероятно, если бы присоединение Константинополя осуществилось, то он бы стал ещё одной, наряду с Петербургом и Москвой (а возможно, что и первой среди них), официальной столицей Российской империи.