В нашем представлении Вселенная бесконечна. Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы, но о форме Вселенной мы задумываемся редко. В геометрии есть множество трехмерных форм в качестве альтернативы «привычному» бесконечному пространству. Авторы в максимально доступной форме объясняют разницу.
Глядя на ночное небо, кажется, что космос продолжается вечно во всех направлениях. Так мы себе Вселенную и представляем — но не факт, что верно. В конце концов, было время, когда все думали, что Земля плоская: искривление земной поверхности незаметно, а мысль, что Земля круглая, казалась непостижимой.
Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы. Но о форме Вселенной мы задумываемся редко. Как сфера пришла на смену плоской Земле, так и другие трехмерные формы предлагают альтернативы «привычному» бесконечному пространству.
Насчет формы Вселенной можно задать два вопроса — отдельных, но взаимосвязанных. Один насчет геометрии — скрупулезных подсчетов углов и площади. Другой — про топологию: как отдельные части сливаются в единую форму.
Космологические данные позволяют предположить, что видимая часть Вселенной гладкая и однородная. Местная структура пространства выглядит почти одинаково в каждой точке и по всем направлениям. Этим характеристикам соответствуют лишь три геометрические формы — плоская, сферическая и гиперболическая. Давайте рассмотрим по очереди эти формы, некоторые топологические соображения и выводы на основе космологических данных.

Плоская вселенная

По сути это школьная геометрия. Сумма углов треугольника составляет 180 градусов, а площадь круга равна πr2. Простейший пример плоской трехмерной формы — обычное бесконечное пространство, его математики называют евклидовым, но есть и другие плоские варианты.
Представить себе эти формы непросто, но мы можем подключить интуицию, думая в двух измерениях вместо трех. Помимо обычной евклидовой плоскости мы можем создать и другие плоские формы, вырезав некий кусок плоскости и склеив его края. Предположим, что мы вырезали прямоугольный лист бумаги и склеили скотчем его противоположные края. Если склеить верхний край с нижним, получится цилиндр.
Еще можно склеить правый край с левым — тогда получим бублик (математики эту форму называют тором).
Вы, наверное, возразите: «Что-то не очень-то плоско получается». И будете правы. Мы немного слукавили насчет плоского тора. Если вы действительно попытаетесь таким образом сделать тор из листа бумаги, то столкнетесь с некоторыми трудностями. Сделать цилиндр легко, но склеить его концы не получится: бумага по внутреннему кругу тора сомнется, а на внешний круг ее не хватит. Так что придется взять какой-нибудь эластичный материал. Но растяжение меняет длину и углы, а значит и всю геометрию.
Внутри обычного трехмерного пространства построить реальный гладкий физический тор из плоского материала без искажения геометрии невозможно. Остается абстрактно порассуждать о том, каково это — жить внутри плоского тора.
Представьте себе, что вы — двумерное существо, чья вселенная представляет собой плоский тор. Поскольку форма этой вселенной основана на плоском листе бумаги, все геометрические факты, к которым мы привыкли, остаются прежними — по крайней мере, в ограниченном масштабе: сумма углов треугольника составляет 180 градусов и так далее. Но из-за изменений в глобальной топологии за счет обрезки и склеивания жизнь круто изменится.
Начнем с того, что в торе есть прямые линии, которые зацикливаются и возвращаются в исходную точку.
На искаженном торе они выглядят изогнутыми, но обитателям плоского тора покажутся прямыми. А поскольку свет распространяется по прямой, то, если вы посмотрите прямо в любом направлении, — увидите себя же сзади.
Это как если бы на оригинальном листе бумаги свет прошел сквозь вас, дошел до левого края, а затем снова появился справа, словно в видеоигре.
Вот еще один способ представить это: вы (или луч света) пересекаете один из четырех краев и оказываетесь словно в новой комнате, но на самом деле это та же самая комната, только с другой точки зрения. Бродя по такой вселенной, вы встретите бесконечное множество копий оригинальной комнаты.
Это означает, что вы уведите бесконечное множество собственных копий, куда бы ни поглядели. Это своего рода эффект зеркала, только копии эти не совсем отражения.
На торе каждая из них соответствует тому или иному витку, по которому свет возвращается обратно к вам.
Точно так же мы получим плоский трехмерный тор, склеивая противоположные грани куба или другой коробки. Изобразить это пространство внутри обычного бесконечного пространства мы не сможем — оно попросту не влезет — зато сможем абстрактно порассуждать о жизни внутри него.
Если жизнь в двумерном торе похожа на бесконечный двумерный массив одинаковых прямоугольных комнат, то жизнь в трехмерном торе похожа на бесконечный трехмерный массив одинаковых кубических комнат. Вы тоже увидите бесконечное множество собственных копий.
Трехмерный тор — лишь один из десяти вариантов конечного плоского мира. Существуют и бесконечные плоские миры — например, трехмерный аналог бесконечного цилиндра. В каждом из этих миров будет своя «комната смеха» с «отражениями».

Может ли наша Вселенная быть одной из плоских форм?

Когда мы смотрим в космос, то не видим бесконечного множества собственных копий. Несмотря на это, исключить плоские формы непросто. Во-первых, у всех у них та же локальная геометрия, что и у евклидова пространства, поэтому различить их местными измерениями не удастся.
Допустим, вы даже увидели собственную копию, это далекое изображение лишь показывает, как вы (или ваша галактика в целом) выглядели в далеком прошлом, поскольку свет проделал немалый путь, пока дошел до вас. Может быть, мы даже видим собственные копии, — но измененные до неузнаваемости. Более того, разные копии находятся на разных расстояниях от вас, поэтому друг на друга не похожи. И к тому же настолько далеко, что мы все равно ничего не увидим.
Чтобы обойти эти трудности, астрономы обычно ищут не свои копии, а повторяющиеся черты в самом далеком из видимых явлений — космическом микроволновом фоновом излучении, это реликт Большого взрыва. На практике это означает поиск пар окружностей с совпадающими узорами горячих и холодных точек, — предполагается, что это одно и то же, только с разных сторон.
Как раз такой поиск астрономы провели в 2015 году благодаря космическому телескопу Планка. Они свели вместе данные по типам совпадающих кругов, которые мы рассчитываем увидеть внутри плоского трехмерного тора или другой плоской трехмерной формы, — так называемой плиты, — но ничего не нашли. Это означает, что если мы действительно живем в торе, то он, по всей видимости, настолько велик, что любые повторяющиеся фрагменты лежат за пределами наблюдаемой Вселенной.

Сферическая форма

С двумерными сферами мы хорошо знакомы — это поверхность шара, апельсина или Земли. Но что, если наша Вселенная — трехмерная сфера?
Изобразить трехмерную сферу трудно, но ее легко описать с помощью простой аналогии. Если двумерная сфера — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в обычном трехмерном пространстве, трехмерная сфера (или «трисфера») — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в четырехмерном пространстве.
Жизнь внутри трисферы сильно отличается от жизни в плоском пространстве. Чтобы представить себе ее, представьте, что вы — двумерное существо в двумерной сфере. Двумерная сфера — это вся Вселенная, поэтому окружающее вас трехмерное пространство вы не видите и попасть в него не можете. В этой сферической Вселенной свет движется кратчайшим путем: по большим кругам. Но вам эти круги кажутся прямыми.
А теперь представьте, что вы с двухмерным приятелем зависаете на Северном полюсе, и он отправился на прогулку. Удаляясь, поначалу он будет постепенно уменьшаться в вашем зрительном круге — как и в обычном мире, пусть и не так быстро, как мы привыкли. Это потому, что по мере роста вашего зрительного круга ваш друг занимает все меньший его процент.
Но как только ваш приятель перевалит экватор, случится нечто странное: он начнет увеличиваться в размерах, хотя на самом деле продолжает удаляться. Это потому, что процент, который он занимают в вашем визуальном круге, растет.
В трех метрах от Южного полюса ваш друг будет выглядеть так, словно он стоит в трех метрах от вас.
Дойдя до Южного полюса, он и вовсе заполнит весь ваш видимый горизонт.
А когда на Южном полюсе нет никого, ваш зрительный горизонт будет еще страннее — это вы сам. Это потому, что излучаемый вами свет будет распространяться по всей сфере, пока не вернется обратно.
Это напрямую влияет на жизнь в трехмерной сфере. Каждая точка трисферы имеет противоположную, и если там находится некий объект, мы увидим его во все небо. Если там нет ничего, мы увидим фоном самого себя — как будто нашу внешность наложили на воздушный шар, затем вывернули наизнанку и раздули во весь горизонт.
Но даже при том, что трисфера — основополагающая модель для сферической геометрии, это далеко не единственное из возможных пространств. Как мы строили разные плоские модели, вырезая и склеивая куски евклидова пространства, так мы можем построить и сферические, склеив подходящие куски трисферы. Каждая из этих склеенных форм будет, как и тор, иметь эффект «комнаты смеха», только число комнат в сферических формах будет конечное.

Что, если наша Вселенная сферическая?

Даже самые самовлюбленные из нас не видят себя фоном вместо ночного неба. Но, как и в случае с плоским тором, то, что мы чего-то не видим, вовсе не означает, что его не существует. Границы сферической вселенной могут быть больше пределов видимого мира, и фон попросту не видно.
Но в отличие от тора сферическую вселенную можно обнаружить с помощью местных измерений. Сферические формы отличаются от бесконечного евклидова пространства не только глобальной топологией, но и малой геометрией. Например, поскольку прямые линии в сферической геометрии представляют собой большие круги, тамошние треугольники более «пухлые», чем евклидовы, и сумма их углов превышает 180 градусов.
По сути, измерение космических треугольников — это основной способ проверить, насколько искривлена Вселенная. Для каждого горячего или холодного пятна на космическом микроволновом фоне известны его диаметр и расстояние от Земли, образующие три стороны треугольника. Мы можем измерить угол, образованный пятном на ночном небе — и это будет один из углов треугольника. Затем можем проверить, соответствует ли сочетание длины сторон и суммы углов плоской, сферической или гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов).
Большинство таких подсчетов, наряду с другими измерениями искривления, предполагают, что Вселенная либо совсем плоская, либо очень к этому близка. Одна исследовательская группа недавно предположила, что часть данных с космического телескопа Планка за 2018 год скорее говорит в пользу сферической Вселенной, хотя другие исследователи возразили, что приведенные доказательства можно списать на статистическую погрешность.

Гиперболическая геометрия

В отличие от сферы, которая замыкается на саму себя, гиперболическая геометрия или пространство с отрицательной кривизной раскрывается наружу. Это геометрия широкополой шляпы, кораллового рифа и седла. Базовая модель гиперболической геометрии представляет собой бесконечное пространство, как и плоское евклидово. Но поскольку гиперболическая форма расширяется наружу гораздо быстрее плоской, то нет способа уместить даже двумерную гиперболическую плоскость внутри обычного евклидова пространства, если мы не хотим искажать его геометрию. Но есть искаженное изображение гиперболической плоскости, известное как диск Пуанкаре.
С нашей точки зрения, треугольники около граничного круга кажутся гораздо меньше, чем те, что у центра, но с точки зрения гиперболической геометрии все треугольники одинаковы. Если бы мы попытались изобразить эти треугольники действительно одинакового размера — возможно, используя эластичный материал и надувая каждый треугольник по очереди, двигаясь от центра наружу — наш диск стал бы напоминать широкополую шляпу и изгибался бы все сильнее. А по мере приближения к границе это искривление вышло бы из-под контроля.
В обычной евклидовой геометрии окружность круга прямо пропорциональна его радиусу, но в гиперболической геометрии окружность относительно радиуса растет по экспоненте. Вблизи границы гиперболического диска образуется нагромождение треугольников.
Из-за этой особенности математики любят говорить, что в гиперболическом пространстве легко заблудиться. Если ваш друг отойдет от вас в обычном евклидовом пространстве, он начнет удаляться, но довольно медленно, потому что ваш зрительный круг растет не так быстро. В гиперболическом же пространстве ваш зрительный круг увеличивается в геометрической прогрессии, поэтому ваш друг вскоре сожмется до бесконечно малого пятнышка. Так что, если вы не следили за его маршрутом, вы его вряд ли потом отыщете.
Еще в гиперболической геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов — так, сумма углов некоторых треугольников из мозаики диска Пуанкаре составляет всего 165 градусов.
Их стороны кажутся непрямыми, но это потому, что мы смотрим на гиперболическую геометрию через искажающую линзу. Для обитателя диска Пуанкаре эти кривые — на самом деле прямые линии, так что быстрейший способ добраться из точки А в точку Б (обе на краю) — через срезку к центру.
Есть естественный способ сделать трехмерный аналог диска Пуанкаре — взять трехмерный шар и наполнить его трехмерными формами, которые постепенно уменьшаются по мере приближения к граничной сфере, как треугольники на диске Пуанкаре. И, как и с плоскостями, и сферами, мы можем создать целое множество других трехмерных гиперболических пространств, вырезая подходящие куски трехмерного гиперболического шара и склеивая его грани.

Что же, наша Вселенная гиперболическая?

Гиперболическая геометрия с ее узкими треугольниками и экспоненциально растущими кругами совсем не похожа на пространство вокруг нас. И действительно, как мы уже заметили, большинство космологических измерений склоняется к плоской Вселенной.
Но мы не можем исключить, что живем в сферическом или гиперболическом мире, ведь малые фрагменты обоих миров выглядят почти что плоскими. Например, сумма углов малых треугольников в сферической геометрии составляет лишь чуть больше 180 градусов, а в гиперболической геометрии — лишь чуть меньше.
Вот почему древние думали, что Земля плоская, — невооруженным глазом кривизну Земли не видно. Чем больше сферическая или гиперболическая форма, тем более плоской является каждая ее часть, поэтому если наша Вселенная имеет чрезвычайно большую сферическую или гиперболическую форму, видимая ее часть настолько близка к плоской, что ее кривизну можно обнаружить лишь сверхточными инструментами, а их мы пока не изобрели.